008240612s2023      us  |||||||||||||||c||eng  d
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■035    ▼a(MiAaPQ)AAI30489612
■040    ▼aMiAaPQ▼cMiAaPQ
■0820  ▼a530
■1001  ▼aLin,  Robert  Henry.▼0(orcid)0000-0002-9273-011X
■24510▼aFinding  and  Building  Algebraic  Structures  in  Finite-Dimensional  Hilbert  Spaces  for  Quantum  Computation  and  Quantum  Information▼h[electronic  resource]
■260    ▼a[S.l.]:▼bHarvard  University.  ▼c2023
■260  1▼aAnn  Arbor  :▼bProQuest  Dissertations  &  Theses,  ▼c2023
■300    ▼a1  online  resource(148  p.)
■500    ▼aSource:  Dissertations  Abstracts  International,  Volume:  84-12,  Section:  B.
■500    ▼aAdvisor:  Jaffe,  Arthur.
■5021  ▼aThesis  (Ph.D.)--Harvard  University,  2023.
■506    ▼aThis  item  must  not  be  sold  to  any  third  party  vendors.
■520    ▼aIn  this  dissertation,  we  investigate  algebraic  structures  in  finite-dimensional  Hilbert  spaces,  as  concerns  quantum  computation  and  quantum  information,  as  well  as  these  structures'  applications  to  lattices.On  the  quantum  computation  side,  we  develop  an  algebraic  framework  of  axioms  which  abstracts  various  high-level  properties  of  multi-qudit  representations  of  generalized  Clifford  algebras.  We  further  construct  an  explicit  model  and  prove  that  it  satisfies  these  axioms.  Subsequently,  we  develop  a  graphical  calculus  for  multi-qudit  computations  with  generalized  Clifford  algebras,  using  the  algebraic  framework  developed.  We  build  our  graphical  calculus  out  of  a  fixed  set  of  graphical  primitives  defined  by  algebraic  expressions  constructed  out  of  elements  of  a  given  generalized  Clifford  algebra,  a  graphical  primitive  corresponding  to  the  ground  state,  and  also  graphical  primitives  corresponding  to  projections  onto  the  ground  state  of  each  qudit.  We  establish  many  algebraic  identities,  including  a  novel  algebraic  proof  of  a  Yang-Baxter  equation.  We  also  derive  a  new  identity  for  the  braid  elements,  which  is  key  to  our  proofs.  We  then  use  the  Yang-Baxter  equation  proof  to  resolve  an  open  question  of  Cobanera  and  Ortiz.  We  demonstrate  that  in  many  cases,  the  verification  of  involved  vector  identities  can  be  reduced  to  the  combinatorial  application  of  two  basic  vector  identities.  In  addition,  we  show  how  to  explicitly  compute  various  vector  states  in  an  efficient  manner  using  algebraic  methods.On  the  quantum  information  side,  we  introduce  a  new  decomposition  of  quantum  channels  acting  on  group  algebras,  which  we  term  Kraus-like  operator  decompositions  (Kraus-like  decompositions  for  short).  An  important  motivation  for  this  new  decomposition  is  a  general  nonexistence  result  that  we  show  for  Kraus  operator  decompositions  for  quantum  channels  in  this  setting.  We  show  that  the  notion  of  convex  Kraus-like  operator  decompositions  (in  which  the  coefficients  in  the  sum  decomposition  are  nonnegative  and  satisfy  a  sum  rule)  that  are  induced  by  the  irreducible  characters  of  a  finite  group  is  equivalent  to  the  notion  of  a  conditionally  negative-definite  length  when  the  length  is  a  class  function.  For  a  general  finite  group  G,  we  prove  a  stability  condition  which  shows  that  if  the  semigroup  associated  with  a  length  has  a  convex  Kraus-like  operator  decomposition  for  all  t    0  small  enough,  then  it  has  a  convex  Kraus-like  operator  decomposition  for  all  time  t    0.  Using  the  stability  condition,  we  show  that  for  a  general  finite  group,  conditional  negativity  of  the  length  function  is  equivalent  to  a  set  of  semidefinite  linear  constraints  on  the  length  function.  By  a  result  of  Schoenberg,  our  result  implies  that  in  the  group  algebra  setting,  a  semigroup  Pt  induced  by  a  length  function  which  is  a  class  function  is  a  quantum  channel  for  all  t  ≥  0  if  and  only  if  it  possesses  a  convex  Kraus-like  operator  decomposition  for  all  t    0.Finally,  motivated  by  the  importance  of  lattice  problems  in  quantum  cryptography,  we  extend  the  algebraic  framework  for  multi-qudit  representations  of  generalized  Clifford  algebras  to  lattices  in  ℤdP  .  We  show  that  under  suitable  number-theoretic  conditions,  the  subalgebra  induced  by  a  lattice  has  trivial  center.  Under  the  trivial  center  constraint,  we  construct  for  pairs  of  lattice  vectors  satisfying  an  algebraic  constraint  a  unitary  operator  based  on  the  product  of  generalized  Clifford  algebra  generators  associated  to  each  lattice  vector.
■590    ▼aSchool  code:  0084.
■650  4▼aPhysics.
■650  4▼aQuantum  physics.
■650  4▼aMathematics.
■653    ▼aGeneralized  Clifford  algebras
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■653    ▼aLattices
■653    ▼aQuantum  channels
■653    ▼aQuantum  computation
■653    ▼aYang-Baxter  equation
■690    ▼a0605
■690    ▼a0599
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■71020▼aHarvard  University▼bPhysics.
■7730  ▼tDissertations  Abstracts  International▼g84-12B.
■773    ▼tDissertation  Abstract  International
■790    ▼a0084
■791    ▼aPh.D.
■792    ▼a2023
■793    ▼aEnglish
■85640▼uhttp://www.riss.kr/pdu/ddodLink.do?id=T16932202▼nKERIS▼z이  자료의  원문은  한국교육학술정보원에서  제공합니다.
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