MARC

 008260126s2025        us                              c    eng  d
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■020    ▼a9798290651842
■035    ▼a(MiAaPQ)AAI32151385
■035    ▼a(MiAaPQ)Caltech17371
■040    ▼aMiAaPQ▼cMiAaPQ
■0820  ▼a305
■1001  ▼aWolman,  Michael  Solomon.
■24510▼aInvariant  Combinatorics  on  Borel  Equivalence  Relations
■260    ▼a[Sl]▼bCalifornia  Institute  of  Technology▼c2025
■260  1▼aAnn  Arbor▼bProQuest  Dissertations  &  Theses▼c2025
■300    ▼a189  p
■500    ▼aSource:  Dissertations  Abstracts  International,  Volume:  87-03,  Section:  B.
■500    ▼aAdvisor:  Kechris,  Alexander;Tamuz,  Omer.
■5021  ▼aThesis  (Ph.D.)--California  Institute  of  Technology,  2025.
■520    ▼aThis  thesis  comprises  four  independent  parts  and  an  appendix1.  We  define  and  study  expansion  problems  on  countable  structures  in  the  setting  of  descriptive  combinatorics.  We  consider  both  expansions  on  countable  Borel  equivalence  relations  and  on  countable  groups,  in  the  Borel,  measure,  and  category  settings,  and  establish  some  basic  correspondences  between  the  two  notions.  We  then  explore  in  detail  many  examples,  including  finding  spanning  trees  in  graphs,  finding  monochromatic  sets  in  Ramsey's  Theorem,  and  linearizing  partial  orders.2.  Standard  results  in  descriptive  set  theory  provide  sufficient  conditions  for  a  set  P  ⊆  ℕℕx  ℕℕ  to  admit  a  Borel  uniformization,  namely,  when  P  has  small  or  large  sections.  We  consider  an  invariant  analogue  of  these  results  with  respect  to  a  Borel  equivalence  relation  E.  Given  E,  we  show  that  every  such  P  admits  an  E-invariant  Borel  uniformization  if  and  only  if  E  is  smooth.  We  also  compute  the  definable  complexity  of  counterexamples  in  the  case  where  E  is  not  smooth,  using  category,  measure,  and  Ramsey-theoretic  methods.  We  also  show  that  the  set  of  pairs  (E,  P)  such  that  P  has  large  sections  and  admits  an  E-invariant  Borel  uniformization  is  Σ12  -complete.3.  Let  E,  F  be  Borel  equivalence  relations  on  X,  Y,  and  P  be  an  E-invariant  Borel  set  whose  sections  contain  countably  many  F-classes.  We  explore  obstructions  to  the  existence  of  Borel  E-invariant  uniformizing  sets  for  P,  i.e.,  sets  choosing  one  F-class  from  every  section.  We  survey  known  results,  and  prove  new  dichotomies  for  the  case  where  P  has  σ-bounded  finite  sections.  On  the  way,  we  prove  a  dichotomy  characterizing  the  essential  values  of  Borel  cocycles  into  residually  finite  Polish  groups.4.  We  show  that  the  Kechris-Solecki-Todorcevic  dichotomy  implies  the  Harrington-  Kechris-Louveau  dichotomy.  We  also  give  a  simple  proof  of  a  graph-theoretic  dichotomy  of  Miller  for  doubly-indexed  sequences  of  analytic  graphs,  and  show  that  this  dichotomy  generalizes  to  finite-dimensional  hypergraphs  but  not  to  ℵ0-dimensional  hypergraphs.5.  An  effective  version  of  Nadkarni's  Theorem  was  proved  in  Ditzen's  unpublished  Ph.D.  thesis.  The  appendix  contains  a  streamlined  exposition  of  the  proof  and  provides  an  alternative  proof  of  the  Effective  Ergodic  Decomposition  Theorem  for  invariant  measures  (also  originally  proved  by  Ditzen).  In  addition,  we  show  that  the  existence  of  an  invariant  Borel  probability  measure  is  not  effective.
■590    ▼aSchool  code:  0037.
■650  4▼aEquality
■650  4▼aAlgebra
■650  4▼aSet  theory
■650  4▼aGraphs
■650  4▼aTheorems
■650  4▼aTheoretical  mathematics
■650  4▼aMathematics
■653    ▼aBorel  equivalence  relations
■653    ▼aCombinatorics
■690    ▼a0642
■690    ▼a0405
■71020▼aCalifornia  Institute  of  Technology▼bPhysics,  Mathematics  and  Astronomy.
■7730  ▼tDissertations  Abstracts  International▼g87-03B.
■790    ▼a0037
■791    ▼aPh.D.
■792    ▼a2025
■793    ▼aEnglish
■85640▼uhttp://www.riss.kr/pdu/ddodLink.do?id=T17358818▼nKERIS▼z이  자료의  원문은  한국교육학술정보원에서  제공합니다.

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