MARC

 008260203s2023        us                              c    eng  d
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■020    ▼a9798265406620
■035    ▼a(MiAaPQ)AAI32316164
■035    ▼a(MiAaPQ)GeorgiaTech72711
■040    ▼aMiAaPQ▼cMiAaPQ
■0820  ▼a530
■1001  ▼aWu,  Hao.
■24510▼aTheory  and  Computation  of  Wasserstein  Geometric  Flows  with  Application  to  Time-Dependent  Schrodinger  Equation
■260    ▼a[Sl]▼bGeorgia  Institute  of  Technology▼c2023
■260  1▼aAnn  Arbor▼bProQuest  Dissertations  &  Theses▼c2023
■300    ▼a112  p
■500    ▼aSource:  Dissertations  Abstracts  International,  Volume:  87-05,  Section:  B.
■500    ▼aAdvisor:  Zhou,  Haomin.
■5021  ▼aThesis  (Ph.D.)--Georgia  Institute  of  Technology,  2023.
■520    ▼aThis  dissertation  focuses  on  the  systematic  study  of  a  novel  computational  framework  to  solve  Wasserstein  geometric  flows.  In  particular,  two  important  classes  of  such  flows,  Wasserstein  gradient  flows  (WGFs)  and  Wasserstein  Hamiltonian  flows  (WHFs),  are  the  main  examples  used  throughout  this  research-they  have  many  applications  in  real-world  physics  systems  and  more  recently  in  deep  learning  problems  such  as  generative  models.  Wasserstein  geometric  flows  describe  time  evolution  of  probability  density  functions  on  the  infinite-dimensional  Wasserstein  manifold.  Therefore,  it  is  critical  to  develop  fast,  accurate,  and  scalable  numerical  schemes  to  solves  these  flows.The  main  feature  of  our  computational  framework  is  to  use  general  reduced-order  models,  such  as  deep  neural  networks,  to  parameterize  the  push-forward  maps  such  that  they  can  push  a  simple  reference  density  to  the  ones  solving  WGFs  or  WHFs.  This  approach  essentially  reduces  these  flows  defined  on  infinite-dimensional  Wasserstein  mainfold  to  finite-dimensional  dynamical  systems  of  the  parameters  of  reduced-order  models.  These  new  dynamical  systems  are  parameterizations  of  the  WGFs  and  WHFs,  which  we  call  PWGFs  and  PWHFs  for  short,  and  are  defined  on  the  finite-dimensional  parameter  space.  By  leveraging  a  pullback  Wasserstein  metric  on  the  parameter  space,  we  can  develop  effective  numerical  methods  to  approximate  the  solutions  of  these  flows.For  WGFs,  we  show  that  our  proposed  PWGF  scheme  can  be  applied  to  general  linear,  nonlinear,  interactive  functionals  or  a  combination  of  them  defined  on  Wasserstein  manifolds.  Moreover,  our  scheme  does  not  require  any  spatial  discretization  and  thus  is  scalable  to  cases  where  the  space  dimensions  of  the  problems  are  high.  Our  approach  does  not  need  to  solve  any  nonconvex  optimization  problems  but  only  require  solving  standard  least  squares  problems  in  each  time  step.  With  these  features,  PWGF  demonstrates  promising  computational  efficiency  and  accuracy  on  a  variety  of  WGF  examples,  as  shown  in  our  numerical  experiments.  A  comprehensive  analysis  of  the  approximation  errors  using  PWGFis  also  provided  in  this  work,  which  lays  the  foundation  theoretically.For  WHFs,  we  adopt  the  similar  idea  but  apply  it  to  the  more  challenging  Hamiltonian  systems  on  Wasserstein  manifolds.  We  propose  a  proper  way  to  parameterize  the  adjoint  variable  in  the  parameter  space.  To  preserve  the  Hamiltonian,  we  employ  a  sympletic  numerical  scheme  to  solve  the  PWHF,  where  a  fixed-point  iteration  scheme  is  used  to  solve  the  implicit  update  equation  of  the  model  parameters.  Similar  to  PWGF,  PWHF  does  not  require  solving  nonconvex  optimization  problems  and  thus  avoids  all  issues  of  existing  nonconvex  optimization  algorithms.  We  present  the  connection  between  the  Lagrangian  and  Eulerian  perspectives  of  the  original  flows  using  PWHF.  Approximation  error  analysis  and  a  number  of  numerical  examples  are  provided  using  PWHF.  Furthermore,  we  consider  the  Schrodinger  equations  (SEs)  as  operator  evolution  equations,  and  show  how  to  use  짢  PWHF  to  solve  them.  Numerical  results  are  also  provided  to  demonstrate  its  promising  performance  in  solving  SEs  where  the  state  spaces  are  of  high  dimension.
■590    ▼aSchool  code:  0078.
■650  4▼aSchrodinger  equation
■650  4▼aError  analysis
■650  4▼aDynamical  systems
■650  4▼aOrdinary  differential  equations
■650  4▼aNeural  networks
■650  4▼aMathematics
■650  4▼aTheoretical  physics
■690    ▼a0800
■690    ▼a0405
■690    ▼a0753
■71020▼aGeorgia  Institute  of  Technology.
■7730  ▼tDissertations  Abstracts  International▼g87-05B.
■790    ▼a0078
■791    ▼aPh.D.
■792    ▼a2023
■793    ▼aEnglish
■85640▼uhttp://www.riss.kr/pdu/ddodLink.do?id=T17366007▼nKERIS▼z이  자료의  원문은  한국교육학술정보원에서  제공합니다.

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